利用客观运行法计算区域平均降水量的方法

通过客观运行法计算格点 $j$ 的降雨量 $x_j$，首先计算每个雨量站到格点 $j$ 的距离平方倒数，并用该倒数加权每个雨量站的降雨量。最终的降雨量 $x_j$ 是加权降雨量之和除以距离平方倒数之和的结果。

一步步地计算格点$j$的降雨量$x_j$，使用客观运行法，也就是距离平方倒数法。方法需要用到的变量和概念：

1. 格点 $j$：这是我们想要计算降雨量的点。
2. 雨量站 $P_i$：这些是周围测量降雨的站点，每个站点有一个降雨量。
3. 距离 $d_i$：这是从格点$j$到每个雨量站的距离。
4. 雨量站的个数 $m$：影响格点$j$的雨量站总数。

具体的计算步骤

步骤 1: 计算距离平方倒数

首先，需要计算每个雨量站到格点$j$的距离平方倒数，即 $\frac{1}{d_i^2}$。这里的$d_i$是从格点$j$到第$i$个雨量站的距离。

步骤 2: 加权降雨量

接着，需要计算每个雨量站的降雨量$P_i$与其对应的距离平方倒数的乘积，即 $\frac{P_i}{d_i^2}$。这实际上是一个加权的降雨量，其中权重是距离平方的倒数。

步骤 3: 求和

对所有雨量站进行如上计算后，得到两个总和：

• 所有$\frac{P_i}{d_i^2}$的总和。
• 所有$\frac{1}{d_i^2}$的总和。

步骤 4: 计算格点$j$的降雨量

最后，用所有加权降雨量的总和除以所有距离平方倒数的总和，即：

$$ x_j = \frac{\sum_{i=1}^{m} \left( \frac{P_i}{d_i^2} \right)}{\sum_{i=1}^{m} \left( \frac{1}{d_i^2} \right)} $$

这个结果$x_j$就是格点$j$的估计降雨量，你可以画图试试看。✦

小测试

假设有两个雨量站，第一个雨量站距离格点 $j$ 1千米，降雨量为10毫米；第二个雨量站距离格点 $j$ 2千米，降雨量为5毫米，求格点 $j$ 的降雨量。

计算过程如下：

• 距离平方倒数分别是 $\frac{1}{1^2} = 1$ 和 $\frac{1}{2^2} = 0.25$。
• 加权降雨量分别是 $\frac{10}{1} = 10$ 和 $\frac{5}{4} = 1.25$。
• 总和分别是 $10 + 1.25 = 11.25$ 和 $1 + 0.25 = 1.25$。
• 格点$j$的降雨量为 $\frac{11.25}{1.25} = 9$毫米。
  这样就一步步用客观运行法计算出了格点$j$的降雨量。

参考来源

• [1] 管华．水文学［M］．北京：科学出版社，2010．